Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．

E，F分別為AB，CD的中點，

∴BE=AB，DF=CD，

∴BE=BF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形

在△ABD中，E是AB的中點，

∴AE=BE=AB=AD，

而∠DAB=60°，

∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE．

∴平行四邊形DEBF是菱形．

（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB，

∴四邊形AGBD是平行四邊形．

由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°．

故∠ADB=90°．

∴平行四邊形AGBD是矩形．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．