Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結論有____．（填序號即可）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

通過條件根據HL可以得出Rt△ABE≌Rt△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，進而可得出∠DAF的度數；由正方形的性質可以得出EC=FC，又AE=AF，就可以得出AC垂直平分EF；設EC=x，根據直角三角形的有關性質，可以用含x的式子表示出BE，DF，EF，從而可得出結果；利用三角形的面積公式用含x的式子分別表示出S△CEF和2S△ABE，再通過比較大小就可以得出結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正確），∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正確）．
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正確）．
設EC=x，由勾股定理，得

，

AG=AE=EF=×2CG=，

，

，

，

（故④錯誤）；

∵S△CEF=x2，S△ABE=××=x2，
∴2S△ABE=x2=S△CEF，（故⑤正確）．
綜上所述，正確的結論有①②③⑤，
故答案為：①②③⑤．