Question

【題目】如圖1，設D為銳角△ABC內一點，∠ADB=∠ACB+90°．

（1）求證：∠CAD+∠CBD=90°；

（2）如圖2，過點B作BE⊥BD，BE=BD，連接EC，若ACBD=ADBC，

①求證：△ACD∽△BCE；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②=.

【解析】

（1）如圖1，延長CD交AB于E，根據三角形外角的性質得到∠ADE=∠CAD+∠ACD，∠BDE=∠CBD+∠BCD，結合已知條件∠ADB=∠ACB+90°．即可證明.

（2）①∠CAD+∠CBD=90°，∠CBD+∠CBE=90°，根據同角的余角相等即可得到∠CAD=∠CBE，根據ACBD=ADBC，BD=BE，即可得到根據相似三角形的判定方法即可判定△ACD∽△BCE；

②連接DE，根據BE⊥BD，BE=BD，得到△BDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到分別判定△ACD∽△BCE，△ACB∽△DCE，根據相似三角形的性質得到則

證明：（1）如圖1，延長CD交AB于E，

∵∠ADE=∠CAD+∠ACD，

∠BDE=∠CBD+∠BCD，

∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB，

∵∠ADB=∠ACB+90°．

∴∠CAD+∠CBD=90°；

（2）①如圖2，∵∠CAD+∠CBD=90°，∠CBD+∠CBE=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

∵ACBD=ADBC，BD=BE，

∴

∴△ACD∽△BCE；

②如圖2，連接DE，

∵BE⊥BD，BE=BD，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴

∵△ACD∽△BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

∴∠ACB=∠DCE，

∵

∴△ACB∽△DCE，

∴

∴