Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）見解析.

【解析】

（1）根據已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可．

（3）畫出圖形后，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：

解：（1）證明：∵四邊形AFED是菱形，∴AF=AD．

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF．

∴∠BAC－∠DAC=∠DAF－∠DAC，即∠BAD=∠CAF．

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD="AF" ，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴CF=BD．

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC．

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF－CD．理由如下：

由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF．

∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．

∴CF－CD=BD－CD=BC=AC，即AC=CF－CD．

補全圖形如下，AC、CF、CD之間的數量關系為AC=CD－CF．

（3）∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴CF=BD．∴CD－CF=CD－BD=BC=AC．