Question

【題目】數學課上，王老師布置如下任務：

如圖1，直線MN外一點A，過點A作直線MN的平行線．

(1)小路的作法如下：

① 在MN上任取一點B，作射線BA；

② 以B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA和MN于C、D兩點（點D位于BA的左側），再以A為圓心，相同的長度為半徑畫弧EH，交BA于點E（點E位于點A上方）；

③以E為圓心CD的長為半徑畫弧，交弧EH于點F（F點位于BA左側）

④作直線AF

⑤直線AF即為所求作平行線．

請你根據小路同學的作圖方法，利用直尺和圓規完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊含的數學依據：

(2)請你參考小路的作法，利用圖2再設計一種“過點A作MN的平行線”的尺規作圖過程（保留作圖痕跡），并說明其中蘊含的數學依據．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據作圖過程，利用SSS易證得，從而得到同位角相等，兩直線平行；

（2）依照小路的作法，根據“內錯角相等，兩直線平行”，作出平行線，同樣可以用SSS易證得，從而得到內錯角相等，兩直線平行的結論.

（1）證明：如圖，根據作圖過程，知：，

連接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(同位角相等，兩直線平行)

故答案為： ； 同位角相等，兩直線平行

（2）作圖方法：

① 在MN上任取一點B，作射線BA(為銳角)；

② 以B為圓心任意長為半徑畫弧，分別交BA和BN于C、D兩點（點D位于BA的右側），再以A為圓心，相同的長度為半徑畫弧EH，交BA于點E（點E位于點A下方）；

③以E為圓心CD的長為半徑畫弧，交弧EH于點F（F點位于BA左側）

④作直線AF

⑤直線AF即為所求作平行線．

證明：如圖，根據作圖過程，知：，

連接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(內錯角相等，兩直線平行)