Question

【題目】二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點A（﹣1，0），點B（4，0）兩點，交y軸于點C．動點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設運動的時間為t秒．

（1）求二次函數y＝ax2+bx+2的表達式；

（2）連接BD，當t＝時，求△DNB的面積；

（3）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3）D（1，3）或D（3，2）．

【解析】

（1）根據二次函數經過A，B兩點，分別代入二次函數解析式，解二元一次方程組即可求出a和b的值.

（2）根據B，C兩點可以求出直線BC的解析式，再根據t＝可以求出N點和D點坐標，然后求出△DBM的面積與△BMN的面積，根據 可求求△DNB的面積.

（3）PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，PB＝PC，則（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，且PC⊥PB，＝＝﹣1，即可求解．

（1）將點A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，

∴a＝﹣，b＝，

∴y＝﹣x2+x+2；

（2）C（0，2），

∴BC的直線解析式為y＝﹣x+2，

當t＝時，AM＝3，

∵AB＝5，

∴MB＝2，

∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），

∴△DNB的面積＝△DMB的面積﹣△MNB的面積＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2.

（3）∵BM＝5﹣2t，

∴M（2t﹣1，0），

設P（2t﹣1，m），

∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，

∵PB＝PC，

∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，

∴m＝4t﹣5，

∴P（2t﹣1，4t﹣5），

∵PC⊥PB，

∴＝＝﹣1

∴t＝1或t＝2，

∴M（1，0）或M（3，0），

∴D（1，3）或D（3，2）．