Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，以AB為直徑的圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）過點F作FG⊥AB，垂足為G，若AB＝12．

①求FG的長；

②求點D到FG的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接OD，證∠ODF=90°即可．
（2）利用△CDF是30°的直角三角形可求得CF長，同理可利用△FGA中的60°的三角函數值可求得FG長．
（3）過D作DH⊥AB于H．利用△BDH是30°的直角三角形可求得BH長，同理可求得AG，然后根據GH=AB-AG-BH求得即可

解：（1）連接OD，∵OB＝OD，∠OBD＝60°，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠ODB＝∠C＝60°，

∴OD∥AC，

又∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）由（1）得：OD∥AC，∵O為AB的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴CD＝BD＝AB＝6，

∴DF＝CD·sin60°＝，

CF＝CD·cos60°＝3，

∴AF＝AC－CF＝9，

∴FG＝AF·sin60°＝；

（3）如圖2，過D作DH⊥AB于H．

∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=，
∵GH=AB-AG-BH=12--3=，

FG⊥AB，∴點D到FG的距離是.