Question

【題目】如圖，中，，，點在邊上運動（不與點，重合），以為邊作正方形，使點在正方形內，連接，則下列結論：①；②當時，；③點到直線的距離為；④面積的最大值是．其中正確的結論是______．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

過點F作FH⊥AB于點H，過點E作EG⊥CA延長線于點G，根據題意可得在△BCD與△ECD中有BD=ED，CD=CD，但無法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，故△BCD與△ECD不一定全等，故①錯誤；先推出∠ACB=30°，再由此得出AC=a，再根據CD=2AD，即可得出tan∠ADB=，可得∠ADB=60°，由此即可得出∠ADE=30°，故②正確；先證明△FHB≌△BAD，根據全等三角形的性質可得FH=a，故③正確；先證明△EGD≌△DAB，設CD=x，

用含x的代數式表達S△CDE，再根據二次函數的性質可得△CDE面積最大值是a2，故④正確．

如圖所示，

過點F作FH⊥AB于點H，過點E作EG⊥CA延長線于點G，

∵四邊形BDEF為正方形，

∴BD=DE=EF=BF，∠FBD=∠BDE=∠BFE=90°，

在△BCD與△ECD中有BD=ED，CD=CD，而無法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，

∴△BCD與△ECD不一定全等，故①錯誤；

∵∠BAC=90°，AB=BC=a，

sin∠ACB===，即∠ACB=30°，

tan∠ACB=tan30°===，

∴AC=a，

又CD=2AD，

∴AD=(AD+CD)=AC=a，

∴tan∠ADB===，

∴∠ADB=60°，

又∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°，

∴∠ADE=90°-∠ADB=90°-60°=30°，故②正確；

∵FH⊥AB，

∴∠FHB=90°，∠HFB+∠HBF=90°，

又∠FBD=∠HBF+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠HFB，

在△FHB與△BAD中有：，

∴△FHB≌△BAD(AAS)，

∴FH=BA=a，

∴F到直線AB的距離為FH=a，故③正確；

∵EG⊥CA，

∠EGD=90°，

∴S△CDE=CD×EG，

∵∠BDE=∠ADB+∠GDE=90°，∠GED+∠GDE=90°，

∴∠GED=∠ADB，

在△EGD與△DAB中有：，

∴△EGD≌△DAB(AAS)，

∴EG=AD，

∴AC=AD+CD=EG+CD===a，

∴AD=EG=a-CD，

設CD=x，則AD=EG=a-x，

S△CDE=x(a-x)

=x2+ax

=(x2-ax)

=(x-a)2+a2

∴關于x的二次函數圖象開口向下，

當x=CD=a時S△CDE取最大值為a2，

∴△CDE面積最大值是a2，故④正確；

∴其中正確的結論是②③④，

故答案為：②③④．