Question

將拋物線y₁=2x²向右平移2個單位，得到如圖拋物線y₂的圖象，P是拋物線y₂對稱軸上的一個動點，直線x=t平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線y₂交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=

1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．

Answer 1

分析：根據向右平移，橫坐標減表示出拋物線y₂的函數解析式，然后表示出點A、B的坐標，再表示出AB的長度與AP的長度，然后根據等腰直角三角形的兩直角邊相等列出方程求解即可．

解答：解：∵拋物線y₁=2x²向右平移2個單位，
∴拋物線y₂的函數解析式為y=2（x-2）²=2x²-8x+8，
∴拋物線y₂的對稱軸為直線x=2，
∵直線x=t與直線y=x、拋物線y₂交于點A、B，
∴點A的坐標為（t，t），點B的坐標為（t，2t²-8t+8），
∴AB=|2t²-8t+8-t|=|2t²-9t+8|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以點A或B為直角頂點的三角形，
∴|2t²-9t+8|=|t-2|，
∴2t²-9t+8=t-2①或2t²-9t+8=-（t-2）②，
整理①得，t²-5t+5=0，
解得t₁=

5- 5

2

，t₂=

5+ 5

2

，
整理②得，t²-4t+3=0，
解得t₁=1，t₂=3，
綜上所述，滿足條件的t值為：1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．
故答案為：1或3或

5- 5

2

或

5+ 5

2

．

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，等腰直角三角形的性質，根據拋物線與直線的解析式表示出點AB、AP或（BP）的長，然后根據等腰直角三角形的性質列出方程是解題的關鍵．