Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點 D．取BC的中點E，連接DE，并連接OE交⊙O于點F．連接AF交BC于點G，連接BD交AG于點H．

（1）若EF＝1，BE＝，求∠EOB的度數；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）求證：點F為線段HG的中點．

Answer 1

【答案】（1）∠EOB＝60°；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據切線的性質得到∠ABC=90°，解直角三角形得到∠EOB=60°；
（2）連結OD，根據圓周角定理得到∠ADB=∠BDC=90°，求得DE=EC，根據切線的判定定理即可得到結論；
（3）根據三角形的中位線的性質得到OE∥AC，根據平行線的性質得到OE⊥BD，得到，求得∠FBD=∠FAB，根據等腰三角形的性質即可得到結論．

（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，

∴∠ABC＝90°，

在直角三角形OBE中，設圓O半徑為r，

∵EF＝1，BE＝，則，r2+（）2＝（r+1）2，

解得r＝1，

∴OB＝1，OE＝2，

在Rt△OBE中，cos∠EOB＝,

∴∠EOB＝60°；

（2）連結OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵E為直角三角形BCD斜邊的中點，

∴DE＝EC，

∴∠CDE＝∠C，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA+∠CDE＝∠OAD+∠C＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（3）連接BF，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AFB=90°，即BF⊥AF，

∵O、E分別為AB、BC的中點，

∴OE∥AC，

∵BD⊥AC，

∴OE⊥BD，

∴，

∴∠DOF=

∵∠BAF=

∴∠BAF=∠DOF,

∵∠DOF=∠DBF，

∴∠DBF=∠BAF，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠EBF+∠ABF=90°

∵∠BAF+∠ABF=90°

∴∠EBF=∠BAF

∴∠EBF=∠HBF

∵BF⊥HG，

∴BF垂直平分HG，

即：點F為線段HG的中點．