Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線一點，點O是線段AD上一點，OP=OC．
（1）已知∠APO=18°，求∠DCO的度數；
（2）求證：△OPC是等邊三角形；
（3）求證：AC=AO+AP．

Answer 1

【答案】（1）12°；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據此即可求解；
（2）證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
（3）首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．

（1）解：如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
∴∠DCO=30°-∠APO=30°-18°=12°；
（2）證明：∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等邊三角形；
（3）證明：如圖2，在AC上截取AE=PA

，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等邊三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，

，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP．