【題目】某服裝廠里有許多剩余的三角形邊角料，找出一塊△ABC，測得∠C=90°（如圖），現要從這塊三角形上剪出一個半圓O，做成玩具，要求：使半圓O與三角形的兩邊AB、AC相切，切點分別為D、C，且與BC交于點E．
（1）在圖中設計出符合要求的方案示意圖．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）Rt△ABC中，AC=3，AB=5，連接AO，求出AO的長度．
【答案】（1）作圖見解析；（2）AO為
．
【解析】
（1）以∠A的平分線與BC的交點為圓心，以到C的距離為半徑的半圓即為所求；
（2）連接OD，在Rt△ABC中，根據勾股定理得BC=4，根據切線的性質和線段的和差關系得到BD=2，設⊙O的半徑為r，則OB=4-r，根據勾股定理求得半徑，再在Rt△ACO中，根據勾股定理求得AO．
(1) 半圓O就是所求的圖形，
（2）連接OD，
∵Rt△ABC中，AC=3，AB=5，根據勾股定理得BC=4，
由題意可知，AB是⊙O的切線，
∴∠ODB=90°，AD=AC=3，
∴BD=2，
設⊙O的半徑為r，則OB=4-r，
∴r2+22=（4-r）2.
解得
，
在Rt△ACO中，根據勾股定理得
.
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【題目】點A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示.若P是
軸上使得∣PA—PB∣的值最大的點，Q是
軸上使得QA+QB的值最小的點，則OP·OQ=__________.
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【題目】（1）操作與探究：如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，折痕的一端G點在邊BC上，BG=10．
①第一次折疊：當折痕的另一端點F在AB邊上時，如圖1，求折痕GF的長；
②第二次折疊：當折痕的另一端點F在AD邊上時，如圖2，證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．
（2）拓展延伸：通過操作探究發現在矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=13．如圖3所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ．當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動．若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離是 ．
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【題目】點A、Ｂ均在由面積為1的相同小矩形組成的網格的格點上，建立平面直角坐標系如圖所示．若P是x軸上使得
的值最大的點，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點，則
＝ ▲ ．
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【題目】閱讀理解：
反比例函數y=
（k＞0）第一象限內的圖象如圖1所示，點P、R是雙曲線上不同的兩點，過點P、R分別做PA⊥y軸于點A，RC⊥x軸于點C，兩垂線交點為B．
（1）問題提出：線段PB：PA與BR：RC有怎樣的關系？
問題解決：設點PA=n，PB=m，則點P的坐標為（n，
），點R的坐標為（m+n，
），AO=BC=，RC=，BR=
,
則BR：RC=
,
PB：PA=
,
∴PB：PA=BR：RC．
問題應用：
（2）利用上面的結論解決問題：
①如圖1，如果BR=6，CR=3，AP=4，BP= ．
②如圖2，如果直線PR的關系式y2=﹣x+3，與x軸交于點D，與y軸交于點E，若ED=3PR，求出k的值．
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【題目】如圖所示，折疊長方形（四個角都是直角）的一邊AD使點D落在BC邊的點F處，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，
求：（1）求BF長度；
（2）求CE的長度．
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【題目】如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線一點，點O是線段AD上一點，OP=OC．
（1）已知∠APO=18°，求∠DCO的度數；
（2）求證：△OPC是等邊三角形；
（3）求證：AC=AO+AP．
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【題目】已知一次函數y=
x +m和y=－
x +n的圖象都是經過點A(－2，0)，且與y軸分別交于B、C兩點．
(1)直接寫出B、C兩點的坐標B: ；C:
(2)求ABC的面積．
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