Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，點D是射線CB上的一個動點，△ADE是等邊三角形，點F是AB的中點，聯結EF．

(1)如圖，當點D在線段CB上時，

①求證：△AEF≌△ADC；

②聯結BE，設線段CD＝x，線段BE＝y，求y關于x的函數解析式及定義域；

(2)當∠DAB＝15°時，求△ADE的面積．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②函數的解析式是y＝，定義域是0＜x≤5；(2)△ADE的面積為或50+75．

【解析】

（1）①在直角三角形中，由30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出的長，再由為中點，得到，確定出三角形為等邊三角形，利用等式的性質得到一對角相等，再由,利用即可得證；

②由全等三角形對應角相等得到為直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出關于的函數解析式及定義域；

（2）分兩種情況考慮：①當點D在線段上時；②當點D在線段的延長線上時，分別求出三角形面積即可.

(1)①在Rt△ABC中，

∵∠B＝30°，AB＝10，

∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，

∵點F是AB的中點，

∴AF＝AB＝5，

∴AC＝AF，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠EAD＝60°，

∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB，

∴∠CAD＝∠FAE，

在△AEF和△ADC中，

，

∴△AEF≌△ADC(SAS)；

②∵△AEF≌△ADC，

∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x，

又∵點F是AB的中點，

∴AE＝BE＝y，

在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2，

∴函數的解析式是，定義域是；

(2)①當點D在線段CB上時，

由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2＝50，

△ADE的面積為；

②當點D在線段CB的延長線上時，

由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得，

△ADE的面積為，

綜上所述，△ADE的面積為或．