Question

【題目】如圖1，在長方形紙片ABCD中，AB=mAD，其中m1，將它沿EF折疊(點E.F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點M處，點C落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP.設，其中0<n1.

(1)如圖2，當n=1(即M點與D點重合)，求證：四邊形BEDF為菱形；

(2)如圖3，當(M為AD的中點)，m的值發生變化時，求證：EP=AE+DP；

(3)如圖1，當m=2(即AB=2AD)，n的值發生變化時，的值是否發生變化?說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；(3)值不變，理由見解析.

【解析】

試題（1）由條件可知，當n=1（即M點與D點重合），m=2時，AB=2AD，設AD=a，則AB=2a，由矩形的性質可以得出△ADE≌△NDF，就可以得出AE=NF，DE=DF，在Rt△AED中，由勾股定理就可以表示出AE的值，再求出BE的值就可以得出結論.

（2）延長PM交EA延長線于G，由條件可以得出△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG由全等三角形的性質就可以得出結論.

（3）如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，通過證明△ABM∽△KFE，就可以得出，即，由AB=2AD=2BC，BK=CF就可以得出的值是為定值．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．

∵AB=mAD，且n=2，∴AB=2AD．

∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF．

在△ADE和△NDF中，∠A＝∠N，AD＝ND，∠ADE＝∠NDF，

∴△ADE≌△NDF（ASA）.∴AE=NF，DE=DF．

∵FN=FC，∴AE=FC．

∵AB=CD，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE．

Rt△AED中，由勾股定理，得，即，∴AE=AD.

∴BE=2AD-AD=.

∴.

（2）如圖3，延長PM交EA延長線于G，∴∠GAM=90°．

∵M為AD的中點，∴AM=DM．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.

∴∠GAM=∠PDM．

在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，

∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.

在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，

∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.

∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.

（3），值不變，理由如下：

如圖1，連接BM交EF于點Q，過點F作FK⊥AB于點K，交BM于點O，

∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.

∵四邊形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.

∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.

∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.

∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.

∴即.

∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴.

∴的值不變．