Question

【題目】如圖，有一張邊長為6的正方形紙片ABCD，P是AD邊上一點（不與點A、D重合），將正方形紙片沿EF折疊，使點B落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于H，連接BP．

（1）求證：∠APB＝∠BPH；

（2）若P為AD中點，求四邊形EFGP的面積；

（3）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？寫出你的結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（3）；（3）△PHD的周長不變為定值12，見解析.

【解析】

（1）欲證明∠APB=∠BPH，只要證明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根據EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可證明．

（2）如圖1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想辦法求出EB、CF即可解決問題．

（3）△PHD的周長不變為定值12．如圖2中，作BQ⊥PG于Q，連接BH，分別證明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．

（1）∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，∴∠APB=∠BPH．

（2）如圖1中，作FM⊥AB于M．

∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，∴∠ABP=∠EFM．

在△ABP和△MFE中，∵，∴△ABP≌△MFE，∴ME=APAD=3．在Rt△AEP中，設AE=x，則EP=BE=6﹣x，∴（6﹣x）2=x2+32，∴x，∴CF=BM=AB﹣AE﹣EM，∴S四邊形EFGP（CF+BE）×BC（）×6．

（3）△PHD的周長不變為定值12．證明如下：

如圖2中，作BQ⊥PG于Q，連接BH．

由（1）可知∠APB=∠BPQ．在△BPA和△BPQ中，∵，∴△BPA≌△BPQ，∴AP=PQ，AB=BQ．

∵AB=BC，∴BC=BQ．

∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，∴△BHQ≌△BHC，∴CH=QH，∴△PDH的周長=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．