Question

【題目】如圖，在ABCD中，延長CD到E，使DE=CD，連接BE交AD于點F，交AC于點G．

（1）求證：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接BD、AE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵DE=CD，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AF=DF．

（2）

解：在BC上截取BN=AB=1，連接AN，

∵∠ABC=60°，

∴△ANB是等邊三角形，

∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，

∵BC=2AB=2，

∴CN=1=AN，

∴∠ACN=∠CAN= ×60°=30°，

∴∠BAC=90°，

由勾股定理得：AC= = ，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴△AGB∽△CGE，

∴ ，

∴ = ，

AG= ，

在△BGA中，由勾股定理得：BG= = ，

∵ = ，

∴GE= ，

BE= + =2 ，

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴BF= BE= ，

∴FG= ﹣ = ．

【解析】（1）連接AE、BD、根據AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案；（2）在BC上截取BN=AB=1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN=1=AN，根據三角形的內角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根據△AGB∽△CGE，得出 ，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據平行四邊形BDEA求出BF，即可求出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識，掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三的一半，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．