Question

【題目】如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點，AC為⊙O的直徑，PO交于⊙O于點E．
（1）試判斷∠APB與∠BAC的數量關系；
（2）若⊙O的半徑為4，P是⊙O外一動點，是否存在點P，使四邊形PAOB為正方形？若存在，請求出PO的長，并判斷點P的個數及其滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BA，如圖1，

∵PA、PB為⊙O的切線，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴∠APB+∠AOB=180°，

而∠AOB+∠BOC=180°，

∴∠BOC=∠APB，

∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，

而OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠BOC=2∠BAC，

∴∠APB=2∠BAC；

（2）解：存在．

∵PA、PB為⊙O的切線，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∴OA⊥OB時，四邊形PAOB為矩形，

而OA=OB，

∴四邊形PAOB為正方形，

∴OP= OA=4 ；

這樣的點P有無數個，當點P在以O點為圓心，4 為半徑的圓上時，四邊形PAOB為正方形．

【解析】（1）連接BA，如圖1，先根據切線的性質得∴∠OAP=∠OBP=90°，再根據四邊形內角和得到∠APB+∠AOB=180°，而∠AOB+∠BOC=180°，則∠BOC=∠APB，利用三角形外角性質得∠BOC=2∠BAC，所以∠APB=2∠BAC，（2）由PA、PB為⊙O的切線得∠OAP=∠OBP=90°，所以當OA⊥OB時，四邊形PAOB為矩形，加上OA=OB，于是可判斷四邊形PAOB為正方形，根據正方形的性質得OP= OA=4 ；由此得到這樣的點P有無數個，當點P在以O點為圓心，4 為半徑的圓上時，四邊形PAOB為正方形．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和正方形的判定方法，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角即可以解答此題．