Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為y軸，且過點(1，2)，(2，5)．

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖，過點E(O，2)的一次函數圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A點在B點的左側），過點A，B分別作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D。

①當CD=3時，求該一次函數的解析式；

②分別用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面積，問是否存在實數t，使得=tS1S3，都成立？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或，②存在實數，使得成立，理由見解析

【解析】

（1）根據對稱軸方程、和過點(1，2)，(2，5)，用待定系數法即可解答．

（2）①設過點的一次函數的解析式為，則，解得m=2,即該一次函數的解析式為. 設，，則，.將代入，得，再由即可求出解得k，所以一次函數的解析式是或.

②根據三角形面積公式可得，，，所以，即S1S3=-x1y1·x2y2=- x1 x2(kx1+2)( kx2+2)= - x1 x2[k2x1x2+2k(x1 +x2)+4]從而求解.

（1）依題意，得，解得，

∴二次函數的解析式為.

（2）設過點的一次函數的解析式為，

則，

∴，

即該一次函數的解析式為.

設，，則，.

將代入，得，

即，

解得，

∴，.

①依題意，

得，

∵，

∴，

解得，

∴該一次函數的解析式是或.

②依題意，得，

，

，

∴，

.

∵，，

∴，，

，

∴，

故存在實數，使得成立.