Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax+x+4的對稱軸是直線x＝3，且與軸相交于A、B兩點（B點在A點的右側），與軸交于C點．

（1）求出A點的坐標、B點坐標；

（2）求出直線BC的解析式；

（3）點Q是直線BC上方的拋物線上的一動點（不與B、C重合），是否存在點Q，使△QBC的面積最大．若存在，請求出△QBC的最大面積，若不存在，試說明理由；

(4)若E在x軸上，點F在拋物線上，以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點E的坐標。

Answer 1

【答案】(1) A（﹣2，0），B（8，0）;(2) y＝﹣x+4;(3)見解析;(4) E的坐標為（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數的性質即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點A、B的坐標；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點B、C的坐標，利用待定系數法即可求出直線BC的解析式，
（3）假設存在，設點Q的坐標為（x，-x2+x+4），過點Q作QD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x，-x+4），QD=-x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出S△QBC關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（4）有四種情形，利用平行四邊形的性質可得點F的縱坐標的絕對值為-4，求出等F的坐標即可解決問題；

解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+4的對稱軸是直線x＝3，

∴﹣＝3，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4．

當y＝0時，﹣x2+x+4＝0，

解得：x1＝﹣2，x2＝8，

∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（8，0）．

故答案為（﹣2，0），（8，0）．

（2）當x＝0時，y＝4，

∴點C的坐標為（0，4）．

設直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）．

將B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，

，解得：

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4．

故答案為y＝﹣x+4．

（3）假設存在，設點Q的坐標為（x，﹣x2+x+4），過點Q作QD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x，﹣x+4），如圖所示．

∴QD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，

∴S△QBC＝QDOB＝×8（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．

∵﹣1＜0，

∴當x＝4時，△QBC的面積最大，最大面積是16．

∵0＜x＜8，

∴存在點Q，使△QBC的面積最大，最大面積是16．

（4）滿足條件的點E的坐標為（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．

如圖，

當AC為平行四邊形的邊時，點N的縱坐標的絕對值為4，
可得F1（F2）（6，4），E2（4，0），
F3（3-，-4），F4（3+，-4），可得E3（5-，0），E4（5+，0），
當AC為對角線時，可得E1（-8，0），
綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（-8，0），（4，0），（5+，0），（5-，0）．