Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)、，若滿足：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“友好點(diǎn)”.

（1）點(diǎn)的“友好點(diǎn)”的坐標(biāo)是_______.

（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)的“友好點(diǎn)”.

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，求線段的長度隨著的增大而減小時(shí)，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)是或；②當(dāng)或時(shí)，的長度隨著的增大而減小；

【解析】

（1）直接利用“友好點(diǎn)”定義進(jìn)行解題即可；（2）先利用 “友好點(diǎn)”定義求出B點(diǎn)坐標(biāo)，A點(diǎn)又在直線上，得到；①當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合，得．解出即可，②當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合， 且．所以對a分情況討論，1°、當(dāng)或時(shí)，，所以當(dāng)a≤時(shí)，的長度隨著的增大而減小，即取．2°當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的長度隨著的增大而減小，即取． 綜上，當(dāng)或時(shí)，的長度隨著的增大而減小．

（1）點(diǎn)，4＞1，根據(jù)“友好點(diǎn)”定義，得到點(diǎn)的“友好點(diǎn)”的坐標(biāo)是

（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，

．

，根據(jù)友好點(diǎn)的定義，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合，．

解得或．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)是或．

②當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合，且．

當(dāng)或時(shí)，．

當(dāng)a≤時(shí)，的長度隨著的增大而減小，

取．

當(dāng)時(shí)， ．

當(dāng)時(shí)，的長度隨著的增大而減小，

取．

綜上，當(dāng)或時(shí)，的長度隨著的增大而減小．