Question

【題目】如圖①，已知△ABC中，AB＝AC，點P是BC上的一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G點．

（1）則線段CG、PM、PN三者之間的數量關系是　 ；

（2）如圖②，若點P在BC的延長線上，則線段CG、PM、PN三者是否還有上述關系，若有，請說明理由，若沒有，猜想三者之間又有怎樣的關系，并證明你的猜想；

（3）如圖③，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且AE＝AD，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，若正方形ABCD的面積是12，請直接寫出PM+PN的值．

Answer 1

【答案】（1）CG＝PM+PN，理由見解析；（2）PM＝CG+PN．理由見解析；（3）PM+PN＝．

【解析】

（1）方法一：過P作PH垂直CG于H，可通過證明△PNC≌△PHC得出CG＝GH+HC＝PM+PN．

方法二：根據△ABC的面積＝△APB的面積+△APC的面積，可得結論；

（2）過C作CH垂直MP于H，可通過證明△PNC≌△PHC得出PM＝CG+PN．

（3）如圖③，連接AP，過E作EF⊥AB于F，根據正方形ABCD的面積是12，得邊長，根據△AEF是等腰直角三角形，得EF的長，根據面積法得：S△AEB＝S△AEP+S△ABP，可得結論．

（1）方法一：CG＝PM+PN，理由是：

如圖①，過P作PH垂直CG于H，

∵PM⊥AB，CG⊥AB，

∴∠AMP＝∠MGH＝∠PHG＝90°，

∴四邊形MPHG是矩形，

∴PM＝GH，PH∥AB，

∴∠HPC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠HPC＝∠NCP，

又∵PH⊥CG，PN⊥AC，

∴∠PHC＝∠CNP＝90°，

∴△PHC≌△CNP（AAS），

∴CH＝PN，

∴CG＝GH+HC＝PM+PN．

方法二：PM+PN＝CG．理由是：

連接AP，則△ABC被分成△APB與△APC，

則△ABC的面積＝△APB的面積+△APC的面積，

即×AB×CG＝×AB×PM+×AC×PN，

∵AB＝AC，

∴PM+PN＝CG；

故答案為：PM+PN＝CG；

（2）PM＝CG+PN．理由是：

如圖②，過C作CH垂直MP于H，

∠HPC+∠ABC＝90°，∠NPC+∠PCN＝90°，

∵∠ABC＝∠ACB＝∠PCN，

∴∠HPC＝∠NPC，

又PH⊥CG，PN⊥AC，

∴CH＝CN，

∵PC＝PC，

∴△PNC≌△PHC（HL），

∴PH＝PN，

由（1）同理得：CG＝MH，

∴PM＝PH+MH＝CG+PN．

（3）如圖③，連接AP，過E作EF⊥AB于F，

∵正方形ABCD的面積是12，

∴AB＝AE＝2 ，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴EF＝ ＝，

∵S△AEB＝S△AEP+S△ABP，

∵AE＝AB，

∴PM+PN＝EF＝ ．