Question

【題目】已知如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：

（1）在圖1中，寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的關系為

（2）如圖2，在圖1的結論下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．

①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：______個；

②若，，試求∠P的度數；

③∠B和∠D為任意角時，其他條件不變，試直接寫出∠P與∠B，∠D之間的數量關系，不需要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）①6；②；③.

【解析】

（1）利用三角形外角定理和對頂角相等，即可得出∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）①通過分析圖1中“8字形”的結構，可通過任意兩條不相交的直線和其內部的直線結構來判斷圖2中“8字形”的數量；

②利用第（1）的結論可知∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再根據平分線的性質，將上式分別相減，即可得到∠P的度數；

③根據第②題的結論即可解答.

解：(1)根據三角形外角定理可得：

∠A+∠D=∠DOB

∠B+∠C =∠AOC

在根據對頂角相等，得

∠DOB=∠AOC

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

(2)①6；

②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠D∠P=∠P∠B，

即∠P=(∠D+∠B)，

∵∠D=40,∠B=36

∴∠P=(40+36)=38；

③由第②題可得

∠P=(∠B+∠D).