Question

【題目】已知：如圖，△ABC 中，∠CAB=90°，AC=AB，點 D、E 是 BC 上的兩點，且∠DAE=45°，△ADC 與△ADF 關于直線AD 對稱．

（1）求證：△AEF≌△AEB；

（2）求∠DFE 的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）90°.

【解析】

（1）根據折疊的性質得到△ADF≌△ADC，根據全等三角形的性質得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD，由于AB＝AC，于是得到AF＝AB，證得∠FAE＝∠BAE，即可得到結論；

（2）由（1）知△AFE≌△ABE，根據全等三角形的性質得到∠AFE＝∠B，即可得到結論．

（1）∵把△ADC沿著AD折疊，得到△ADF，∴△ADF≌△ADC；

∴AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD．

∵AB＝AC，∴AF＝AB．

∵∠DAE＝45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．

∵∠CAD＝∠FAD，∴∠FAE＝∠BAE．

在△AFE與△ABE中，∵，∴△AEF≌△AEB；

（2）由（1）知△AEF≌△AEB，∴∠AFE＝∠B．

∵∠C＝∠DFA，∴∠DFE＝∠DFA+∠EFA＝∠B+∠C＝90°．