Question

【題目】如圖，反比例函數y= 的圖象與二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象在第一象限內相交A、B兩點，A、B兩點的縱坐標分別為1，3，且AB=2

（1）求反比例函數的解析式；
（2）求二次函數的解析式；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A、B兩點都在反比例函數y= 的圖象上，兩點的縱坐標分別為1，3，
故可設A（x1 ， 1）B（x2 ， 3），分別代入反比例函數的解析式為k=x1 ， k=3x2 ，
解得x1=3x2 ，
由AB=2 ，
可得（x1﹣x2）2+（1﹣3）2=（2 ）2 ， x2=±2，
因為函數圖象在第一象限，
故x2=2，k=3x2=6，
∴該反比例函數的解析式為：
y=
（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函數的解析式，
得 ，
解得 ，
故此二次函數的解析式為：y=﹣x2+ x﹣8
（3）解：設M（x，0），N（0，y），過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，
把A、B兩點坐標代入得 ，
解得k=﹣ ．
則設經過M、N兩點的直線解析式為y=﹣ x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵MN=AB，即x2+y2=（2 ）2 ， 即b2=4，b=±2，
故過M，N兩點的直線解析式為：y=﹣ x+2或y=﹣ x﹣2
【解析】本題考查的是一次函數，反比例函數及二次函數圖象上點的坐標特點，涉及面較廣，但難度適中．
小題1 設出A、B兩點的坐標，根據兩點都在反比例函數的圖象上，可找出兩坐標之間的關系，由AB兩點之間的距離可求出K的值，從而求出其解析式；
小題2 根據小題1中所求A，B兩點的坐標，分別代入二次函數的解析式即可求出b、c的值，從而求出二次函數的解析式；
小題3 設出M，N兩點的坐標，由A，B兩點的坐標可求出過A，B兩點直線的解析式，根據其解析式可設出過M，N兩點的直線解析式，找出兩點坐標與的關系，再根據平行四邊形的性質即可求出未知數的值從而求出其解析式．