Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如圖所示的方式放置.點A1,A2,A3,…,An和點C1,C2,C3,…,Cn分別落在直線y=x+1和x軸上.拋物線L1過點A1,B1,且頂點在直線y=x+1上,拋物線L2過點A2,B2,且頂點在直線y=x+1上,……,按此規律,拋物線Ln過點An,Bn,且頂點也在直線y=x+1上,其中拋物線L2交正方形A1B1C1O的邊A1B1于點D1,拋物線L3交正方形A2B2C2C1的邊A2B2于點D2,…拋物線Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的邊AnBn于點Dn(其中n≥1,且n為正整數).

(1)直接寫出下列點B1B2,B3的坐標;

(2)寫出拋物線L2,L3的解析式,并寫出其中一個解析式的求解過程,再猜想拋物線Ln的頂點坐標;

(3)①設A1D1=k1·D1B1,A2D2=k2·D2B2,試判斷k1與k2的數量關系并說明理由;

②點D1,D2,…,Dn是否在一條直線上?若是,直接寫出這條直線與直線y=x+1的交點坐標;若不是,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4)；(2)拋物線L2,L3的解析式分別為y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2，求解過程見解析；猜想拋物線Ln的頂點坐標為(3×2n-2-1,3×2n-2); (3)①k1與k2的數量關系為k1=k2.理由見解析；②這條直線與直線y=x+1的交點坐標為(-1,0).

【解析】

（1）先求出直線y=x+1與y軸的交點坐標即可得出A1的坐標，故可得出OA1的長，根據四邊形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐標，再把B1的橫坐標代入直線y=x+1即可得出A1的坐標，同理可得出B2，B3的坐標；
（2）根據四邊形A1B1C1O是正方形得出C1的坐標，再由點A2在直線y=x+1上可知A2（1，2），B2的坐標為（3，2），由拋物線L2的對稱軸為直線x=2可知拋物線L2的頂點為（2，3），再用待定系數法求出直線L2的解析式；根據B3的坐標為（7，3），同上可求得點A3的坐標為（3，4），拋物線L3的對稱軸為直線x=5，同理可得出直線L2的解析式；
（3）①同（2）可求得L2的解析式為y=（x-2）2+3，當y=1時，求出x的值，由A1D1= -D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出結論；
②由①中的結論可知點D1、D2、…，Dn是否在一條直線上，再用待定系數法求出直線D1D2的解析式，求出與直線y=x+1的交點坐標即可．

(1) ）∵令x=0，則y=1，
∴A1（0，1），
∴OA1=1．
∵四邊形A1B1C1O是正方形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1）．
∵當x=1時，y=1+1=2，
∴B2（3，2）；
同理可得，B3（7，4）．

故答案為：B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).

(2)拋物線L2,L3的解析式分別為y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6.

拋物線L2的解析式的求解過程:

對于直線y=x+1,設x=0,可得y=1,

即A1(0,1).

∵A1B1C1O是正方形,

∴C1(1,0).

又∵點A2在直線y=x+1上,

∴點A2(1,2).

又∵點B2的坐標為(3,2),

∴拋物線L2的對稱軸為直線x=2.

∴拋物線L2的頂點坐標為(2,3).

設拋物線L2的解析式為y=a(x-2)2+3(a≠0),

∵L2過點B2(3,2),

∴當x=3時,y=2,即2=a×(3-2)2+3,解得a=-1.

∴拋物線L2的解析式為y=-(x-2)2+3.

(或拋物線L3的解析式的求解過程:

∵B3的坐標為(7,4),同上可求得點A3的坐標為(3,4),

∴拋物線L3的對稱軸為直線x=5.

∴拋物線L3的頂點坐標為(5,6).

設拋物線L3的解析式為y=a(x-5)2+6(a≠0),

∵L3過點B3(7,4),

∴當x=7時,y=4,即4=a×(7-5)2+6,解得a=-.

∴拋物線L3的解析式為y=-(x-5)2+6.)

猜想拋物線Ln的頂點坐標為(3×2n-2-1,3×2n-2);

猜想過程:方法1:可由拋物線L1,L2,L3…的解析式:

y=-2,y=-(x-2)2+3,y=-(x-5)2+6,……,歸納總結得出.

方法2:可由正方形AnBnCnCn-1頂點An,Bn的坐標規律An(2n-1-1,2n-1)與Bn(2n-1,2n-1),

再利用對稱性可得拋物線Ln的對稱軸為直線x=,即x==3·2n-2-1,

又頂點在直線y=x+1上,所以可得拋物線Ln的頂點坐標為(3×2n-2-1,3×2n-2).

(3)①k1與k2的數量關系為k1=k2.

理由如下:由(2)可知L2的解析式為y=-(x-2)2+3,

當y=1時,1=-(x-2)2+3,解得x1=2-,x2=2+.

∵0<A1D1<1,所以x=2-.

∴A1D1=2--1).

∴D1B1=1-(2-)=-1.

∴A1D1=·D1B1,即k1=.

同理可求得A2D2=4-2=2-1),

D2B2=2-(4-2)=2-2=2(-1),

A2D2=·D2B2,即k2=,

∴k1=k2.

②點D1,D2,…,Dn是在一條直線上.

這條直線與直線y=x+1的交點坐標為(-1,0).