Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點O為BE上一點，以OB為半徑的⊙O交AB于點E，交AC于點D．BD平分∠ABC．

（1）求證：AC為⊙O切線；

（2）點F為的中點，連接BF，若BC＝，BD＝8，求⊙O半徑及DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）7

【解析】

（1）連接OD，根據角平分線的性質得到∠CBD＝∠OBD，根據角平分線的定義得到∠ODB＝∠OBD，推出OD∥BC，得到∠ADO＝∠C＝90°，于是得到結論；

（2）由BE為⊙O的直徑，得到∠BDE＝90°，根據相似三角形的性質得到BE＝10，求得⊙O半徑OB＝5；推出∠EDF＝∠BDF＝45°，過B作BM⊥DF于M，過E作EN⊥DF于N，連接EF，解直角三角形得到BM＝BD＝4，EN＝DE＝3，EF＝BE＝5，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論．

（1）證明：連接OD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠OBD，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB＝∠CBD，

∴OD∥BC，

∴∠ADO＝∠C＝90°，

∴OD⊥AC，

∴AC為⊙O切線；

（2）解：∵BE為⊙O的直徑，

∴∠BDE＝90°，

∴∠C＝∠BDE，

∵∠CBD＝∠EBD，

∴△CBD∽△DBE，

∴，

即，

∴BE＝10，

∴⊙O半徑OB＝5；

∴DE＝6，

∵點F為的中點，

∴，

∴∠EDF＝∠BDF＝45°，

過B作BM⊥DF于M，過E作EN⊥DF于N，連接EF，

∴BM＝BD＝4，EN＝DE＝3，EF＝BE＝5，

∴S四邊形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝S△DEF+S△DBF，

∴×5×5+×6×8＝×3DF+×4DF，

∴DF＝7．