Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設是線段上的動點，作交于，連接，當的面積是面積的2倍時，求點的坐標；

（3）若為拋物線上、兩點間的一個動點，過作軸的平行線，交于，當點運動到什么位置時，線段的值最大，并求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）當點的坐標為時，線段取最大值．

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，求出系數的值，即可求得拋物線的解析式；

（2）△CEF和△BEF同高，則面積比等于底邊比，由此可得出CF=2BF；易證得△BEF∽△BAC，根據相似三角形的性質，即可求得BE、AB的比例關系，由此可求出E點坐標；

（3）PQ的長實際是直線AC與拋物線的函數值的差，可設P點橫坐標為a，用a表示出P、Q的縱坐標，然后可得出PQ的長與a的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ最大時a的值，也就能求出此時P點的坐標．

解：（1）將點，坐標代入拋物線解析式得：

，

解得：，

拋物線的解析式為；

（2）如圖，，

，則．

，

∴，

，

∵、，

則，

∴．

點的橫坐標為，

點的坐標為；

（3）∵拋物線的解析式為，

當x=0時，y=2，則，

設直線AC的解析式為：，分別代入、得：

，解得：，

∴直線的解析式為．

設點的坐標為，

點是過點作軸的平行線與直線的交點，則點的坐標為．則有：

，

即當時，線段取最大值，

此時點的坐標為．