Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點O作EO⊥BD，交BA延長線于點E，交AD于點F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=．求AF的長．

Answer 1

【答案】2

【解析】試題分析：方法一，由平行四邊形的性質得OD=，解Rt△ODF，求出OF和FD的長. 過O作OG∥AB，交AD于點G，易證△AEF∽△GOF，從而得到AF=GF．然后根據 列方程求解.

方法二，由△ODF≌△OHB可知，OH=OF，從而得到，再由△EAF∽△EBH可得；解直角三角形Rt△BOH,求出BH的長，代入比例式求出AF的長.

解：方法一：

∵□ABCD，∴AD∥BC，OD=BD=．

∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．

∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．

在Rt△ODF中，tan30°=，∴OF=3．∴FD=6．

過O作OG∥AB，交AD于點G，∴△AEF∽△GOF，∴ ．

∵EF=OF，∴AF=GF．

∵O是BD中點，∴G是AD中點．

設AF=GF=x，則AD=6+x，∴AG= ．

解得x=2，∴AF=2．

方法二：延長EF交BC于H．

由△ODF≌△OHB可知，OH=OF．

∵AD∥BC，∴△EAF∽△EBH，∴ ．

∵EF=OF，∴ ．

由方法一的方法，可求BH=6，∴AF=2．