Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P的橫坐標為x，縱坐標為2x，滿足這樣條件的點稱為“關系點”.

(1)在點A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1， )中，是“關系點”的為 ；

(2)⊙O的半徑為1，若在⊙O上存在“關系點”P，求點P坐標；

(3)點C的坐標為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個“關系點”P，且“關系點”P的橫坐標滿足-2≤x≤2.請直接寫出⊙C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A、M；（2）或；（3）或.

【解析】試題分析：

（1）由“關系點”的定義可知，關系點的縱坐標等于橫坐標的2倍，由此可知四個點中A點和M點是“關系點”；

（2）由題意按要求作半徑為1的⊙O，如圖1，在⊙O上取點P，根據關系點的定義設點P的坐標為（x，2x），過點P作PG⊥x軸于點G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到點P的坐標；

（3）“關系點”P的橫坐標滿足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一個“關系點”P，故結合圖2分以下兩種情況討論可得本題答案：①當⊙C和直線相切于點P1時，⊙C上有且只有一個“關系點”；②設點P2的坐標為（2，4），點P3的坐標為（-2，-4），連接CP2，CP3，當CP2<r<CP3時，⊙C上有且只有一個“關系點”；綜合①②即可得到本題答案.

試題解析：

（1）由“關系點”的定義可知，“關系點”的縱坐標等于橫坐標的2倍，由此可知四個點中點A、M是“關系點”；.

（2）由題意按要求作半徑為1的⊙O，如圖1，在⊙O上取點P，過點P作PG⊥x軸于點G，由題意可設P（x，2x），

∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2 ，

∴x2+4x2=1，

∴5x2=1，

∴x2=，

∴x=，

∴P或P；

（3）由“關系點”的定義可知，所有的關系點都在直線上；

∵“關系點”P的橫坐標滿足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一個“關系點”P，

∴①當⊙C和直線相切于點P1時，⊙C上有且只有一個“關系點”；②設點P2的坐標為（2，4），點P3的坐標為（-2，-4），連接CP2，CP3，當CP2<r<CP3時，⊙C上有且只有一個“關系點”；

①如圖2，當⊙C和直線相切于點P1時，此時⊙C上有且只有一個“關系點”，

過點P1作P1D⊥x軸于點D，則OD=x，P1D=2x，OP1= ，

∴sin∠P1OD=，

∴此時⊙C的半徑=OC×sin∠P1OD=；

②如圖2，當x=2時，點P2的坐標為（2，4），連接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；

當x=-2時，點P3的坐標為（-2，-4），連接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；

∴當時，在的范圍內，⊙C與直線只有一個交點.

綜上所述，點C的坐標為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個“關系點”P，且“關系點”P的橫坐標滿足-2≤x≤2時，⊙C的半徑的取值為： 或.