Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線過A（-1,0）、B（3,0）、C（0，-1)三點.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）若該拋物線的頂點為D，求直線AD的解析式；

（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點標.P的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) x-；（3）P(－4,7)、(4， )、(2,－1).

【解析】試題分析：（1）已知拋物線圖象上不同的三點坐標，利用待定系數法能求出拋物線的解析式．

（2）將（1）的拋物線解析式化為頂點式，即可得到頂點D的坐標，點A的坐標已知，利用待定系數法即可求出直線AD的解析式．

（3）題目給出的四邊形四頂點排序沒有明確，因此要分兩種情況討論：

①線段AB為平行四邊形的邊；那么點Q向左或向右平移AB長個單位就能得到點P的坐標，點Q的橫坐標是確定的，那么點P的坐標就能確定出來，而點P恰好在拋物線的圖象上，代入拋物線的解析式即可求出點P的坐標；

②線段AB為對角線；那么點Q、P關于AB的中點對稱（平行四邊形是中心對稱圖形），思路同①，首先確定點P的橫坐標，再代入拋物線的解析式中確定其具體的坐標值．

試題解析：(1)設表達式為y=ax2+bx-1過點（-1,0）與（3,0）

∴

∴

∴所求解析式為：

（2）∵D是的頂點

∴D（1，-）

設AD的解析式為y=kx+b過點A、D,

,

解得

直線AD的解析式為-x-

（3）設點Q的坐標為（0，y），分兩種情況討論：

①線段AB為平行四邊形的邊，則QP∥x軸，且QP=AB=4，有：

1、將點Q向左平移4個單位，則P1（-4，y），代入拋物線的解析式，得：

y=（-4+1）（-4-3）=7，

即：P1（-4，7）；

2、將點Q向右平移4個單位，則P2（4，y），代入拋物線的解析式，得：

y=（4+1）（4-3）=，

即：P2（4， ）；

②線段AB為平行四邊形的對角線，則Q、P關于AB的中點對稱，即P3（2，-y），代入拋物線的解析式，得：

-y=（2+1）（2-3）=-1，

即：P3（2，-1）；

綜上，滿足條件的點P的坐標為（-4，7）、（4， ）、（2，-1）．