Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，動點P從點C開始，以1cm/s的速度在BC的延長線上向右勻速運動，連接AP交CD邊于點E，把射線AP沿直線AD翻折，交CD的延長線于點Q，設點P的運動時間為t．

（1）若DQ=3cm，求t的值；
（2）設DQ=y，求出y與t的函數關系式；
（3）當t為何值時，△CPE與△AEQ的面積相等？
（4）在動點P運動過程中，△APQ的面積是否會發生變化？若變化，求出△APQ的面積S關于t的函數關系式；若不變，說明理由，并求出S的定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=AB=4cm，

∵AP沿直線AD翻折得到AQ，

∴QD=DE=3cm，

∴CE=CD﹣DE=4﹣3=1（cm），

當運動t秒時，則PC=tcm，

∴BP=（t+6）cm，

∵CD∥AB，

∴△PCE∽△PBA，

∴ = ，即 = ，

解得t=2

（2）

解：同（1）可知DE=DQ=y，則CE=4﹣y，

同理可得 = ，即 = ，

整理可得y=

（3）

解：不變，理由如下：

由（2）可知當CP=t時，QD= ，

則QE=2QD= ，CE=4﹣QD=4﹣ = ，

∴S△AEQ= QEAD= × ×6= ，

S△CPE= CPCE= ×t× = ，

當S△CPE=S△AEQ時，則有 = ，

解得t=6 或t=﹣6 （舍去），

∴當t的值為6 秒時，△CPE與△AEQ的面積相等

（4）

解：由（3）可知QE= ，

∴S△APQ=S△AQE+S△PQE= QEAD+ QECP= QE（AD+CP）= × ×（t+6）=24，

∴△APQ的面積為24，不變

【解析】（1）由折疊可知QD=DE，可求得CE，再利用平行可得△PCE∽△PBA，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；（2）同（1）可用y表示出CE，同理可利用相似三角形的性質可得到關于y與t的函數關系式；（3）利用（2）中的關系式可用t表示出QE、CE，則可用t分別表示出△CPE與△AEQ的面積，由面積相等可得到關于t的方程，可求得t；（4）由（3）可用t分別表示出QE、CE，可表示出△APQ的面積為定值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的面積(三角形的面積=1/2×底×高)．