Question

【題目】如圖，在等邊中，，現有兩點、分別從點、同時出發，沿三角形的邊運動，已知點的速度為，點的速度為.當點第一次回到點時，點、同時停止運動，設運動時間為.

（1）當為何值時，、兩點重合；

（2）當點、分別在、邊上運動，的形狀會不斷發生變化.

①當為何值時，是等邊三角形；

②當為何值時，是直角三角形；

（3）若點、都在邊上運動，當存在以為底邊的等腰時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）當時，M、N兩點重合；（2）①當時，是等邊三角形；②當或時，是直角三角形；（3）當存在以為底邊的等腰時，的值為8.

【解析】

（1）當兩點重合時，點N運動的距離等于點M運動的距離加上AB的長，求解即可；

（2）①因可知要使是等邊三角形，只需，據此建立方程求解即可；

②分和兩種情況，再根據直角三角形的性質得出AM與AN的等量關系，據此建立方程求解即可；

（3）先畫出圖形，確認點M、N的位置，再利用三角形全等的判定定理與性質可得，據此列出方程求解即可.

（1）由題意得：當點第一次回到點時，運動時間

當M、N兩點重合時，

解得

故當時，M、N兩點重合；

（2）是等邊三角形

點分別在邊上運動

①要使是等邊三角形，只需

因此，

解得

故當時，是等邊三角形；

②要使是直角三角形，只需或

當時，

由直角三角形的性質得

因此，

解得

當時，

由直角三角形的性質得

因此，

解得

綜上，當或時，是直角三角形；

（3）由（1）知，當時，M、N兩點重合

此時，即重合時恰好在C處

此后點M、N都在BC邊上運動，并且點N在點M前面

當是以MN為底邊的等腰三角形時，如圖所示：

，即

又是等邊三角形

在和中，

又

則

解得

故當存在以為底邊的等腰時，的值為8.