Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，點PQ分別是AB、AD邊上的動點，則PQ+BQ的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 如圖，作點P關于直線AD的對稱點P′，連接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即當BP′⊥AC時，BQ+QP′的值最小，此時Q與D重合，P′與C重合，最小值為BC的長．

解答 解：如圖，作點P關于直線AD的對稱點P′，連接QP′，

在△AQP和△AQP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP′}\\{∠QAP=∠QAP′}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴當BP′⊥AC時，BQ+QP′的值最小，此時Q與D重合，P′與C重合，最小值為BC的長．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴PQ+BQ的最小值是4，
故選A．

點評 本題考查了勾股定理、軸對稱中的最短路線問題、垂線段最短等知識，找出點P、Q的位置是解題的關鍵．