Question

【題目】如圖所示，正方形紙片ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB，AC于點E，G，連接GF，給出下列結論：

①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4 ，其中正確的結論個數有（）

A. 2個B. 4個C. 3個D. 5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據四邊形ABCD為正方形，以及折疊的性質，可以直接得到∠ADG的角度，以及AE=FE，在△BEF中，EF＜BE，可以得到2AE＜AB，結合三角函數的定義對②作出判斷；

在△AGD和△OGD中高相等，底不同，可以直接判斷其大小，而四邊形AEFG是菱形的判定需證得AE=EF=GF=AG；

要計算OG和BE的關系，我們需利用到中間量EF，即四邊形AEFG的邊長，可以轉化出BE和OG的關系；

當已知△OGF的面積時，根據菱形的性質，可以求得OG的長，進而求出BE的長度，而AE的長度與GF相同，GF可由勾股定理得出，進而求出AB的長度，正方形ABCD的面積也出來了.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°.

由折疊的性質可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正確；

∵由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴＞2.故②錯誤；

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG.

∵△AGD與△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD.故③錯誤；

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE.

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF.

∵AE=EF，

∴AE=GF.

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四邊形AEFG是菱形，故④正確；

∵四邊形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG.故⑤正確；

∵四邊形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AB=GF.

∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF是等腰直角三角形.

∵S△OGF=1，

∴ OG=1，

解得OG=，

∴BE=2OG=2，

GF=，

∴AE=GF=2，

∴AB=BE+AE=2+2，

∴S四邊形ABCD=AB =(2 +2) =12+8 .故⑥錯誤.

∴其中正確結論的序號是①④⑤，共3個.

故選C.