Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…，如此進(jìn)行下去，得到四邊形A_nB_nC_nD_n．下列結(jié)論正確的有______
①四邊形A₂B₂C₂D₂是矩形；②四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
③四邊形A₅B₅C₅D₅的周長(zhǎng)

a+b

4

；
④四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

．

Answer 1

①連接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形；
∵AC⊥BD，
∴四邊形是A₁B₁C₁D₁矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位線(xiàn)定理），
∴四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②由①知，四邊形A₂B₂C₂D₂是菱形；
∴根據(jù)中位線(xiàn)定理知，四邊形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本選項(xiàng)正確；

③根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)易知，A₅B₅=

1

2

A₃B₃=

1

2

×

1

2

A₁B₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

AC，B₅C₅=

1

2

B₃C₃=

1

2

×

1

2

B₁C₁=

1

2

×

1

2

×

1

2

BD，
∴四邊形A₅B₅C₅D₅的周長(zhǎng)是2×

1

8

（a+b）=

a+b

4

；
故本選項(xiàng)正確；

④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四邊形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
四邊形A_nB_nC_nD_n的面積是

ab

2n+1

；
故本選項(xiàng)正確；
綜上所述，②③④正確．
故答案為②③④．