Question

如圖，在平面直角坐標系內，Rt△ABC的直角頂點C（0，

3

）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點，且OA：OB=3：1，以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點E，交BC于點F．直線EF交OC于點Q．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）請猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關系并證明你的猜想；
（3）在△AOC中，設點M是AC邊上的一個動點，過M作MN∥AB交OC于點N．試問：在x軸上是否存在點P，使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了C點的坐標，即可求出OC的值，題中告訴了OA，OB的比例關系，因此可用射影定理求出OA，OB的長，即可得出A，B兩點的坐標，然后用待定系數法可求出拋物線的解析式；
（2）證EF與圓的關系，可連接O₁E，O₂F證是否與EF垂直即可．連接OE，OF，那么四邊形EOFC是個矩形，根據矩形的對角線相等且互相平分的特點，可得出QO=QE，那么∠1=∠2，而∠3=∠4，因此可得出∠1+∠3=90°，即可證得，O₁E⊥EF，因此EF是圓O₁的切線，同理可證得EF也是圓O₂的切線，因此EF是兩圓的公切線；
（3）①先求PM=MN時，P點的坐標，此時四邊形PMNO是個正方形，可根據相似三角形CMN和CAO來求出MN的長，即可得出P點的坐標．
②在①中已經得出四邊形MPON是正方形，因此P在O點時，也符合題中的條件，此時P點坐標即為原點坐標．
綜上所述即可求出符合條件的P的坐標．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB．
∴OC²=OA•OB．
∵OA：OB=3：1，C（0，

3

），
∴（

3

）²=3OB•OB．
∴OB=1．
∴OA=3．
∴A（-3，0），B（1，0）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
則

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c= 3

．
解之，得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（2）EF與⊙O₁、⊙O₂都相切．
證明：連接O₁E、OE、OF．
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°，
∴四邊形EOFC為矩形．
∴QE=QO，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴EF與⊙O₁相切．
同理：EF與⊙O₂相切；

（3）作MP⊥OA于P，設MN=a，由題意可得MP=MN=a．
∵MN∥OA，
∴△CMN∽△CAO．
∴

MN

AO

=

CN

CO

．
∴

a

3

=

3 -a

3

．
解之，得a=

3 3 -3

2

．
此時，四邊形OPMN是正方形．
∴MN=OP=

3 3 -3

2

．
∴P（-

3 3 -3

2

，0）．
考慮到四邊形PMNO此時為正方形，
∴點P在原點時仍可滿足△PMN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形．
故x軸上存在點P使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且P（-

3 3 -3

2

，0）或P（0，0）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形相似、直線與圓的位置關系、等腰直角三角形的判定等知點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．