Question

【題目】如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點A和第二象限的點C分別在雙曲線y= 和y= 的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結論：
① = ；
②陰影部分面積是 （k1+k2）；
③當∠AOC=90°時，|k1|=|k2|；
④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱．

其中正確的結論是（把所有正確的結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，

∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴S△AOB=S△COB ，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S△AOM= |k1|= OMAM，S△CON= |k2|= ONCN，
∴ = ，故①正確；
∵S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，
∴S陰影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S陰影部分= （k1﹣k2），故②錯誤；
當∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形，
∴不能確定OA與OC相等，
而OM=ON，
∴不能判斷△AOM≌△CNO，
∴不能判斷AM=CN，
∴不能確定|k1|=|k2|，故③錯誤；
若OABC是菱形，則OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=﹣k2 ，
∴兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，故④正確．
故答案為：①④．
作AE⊥y軸于點E，CF⊥y軸于點F，根據平行四邊形的性質得S△AOB=S△COB ， 利用三角形面積公式得到AE=CF，則有OM=ON，再利用反比例函數k的幾何意義和三角形面積公式得到S△AOM= |k1|= OMAM，S△CON= |k2|= ONCN，所以有 = ；由S△AOM= |k1|，S△CON= |k2|，得到S陰影部分=S△AOM+S△CON= （|k1|+|k2|）= （k1﹣k2）；當∠AOC=90°，得到四邊形OABC是矩形，由于不能確定OA與OC相等，則不能判斷△AOM≌△CNO，所以不能判斷AM=CN，則不能確定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根據菱形的性質得OA=OC，可判斷Rt△AOM≌Rt△CNO，則AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2 ， 根據反比例函數的性質得兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱．