Question

【題目】△ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），過點D作⊙O的切線DF，交AB的延長線于F．

（1）求證：DF∥BC；

（2）連接OF，若tan∠BAC＝，BD＝，DF＝8，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）10.

【解析】

（1）根據切線的性質得：OD⊥DF，由角平分線得∠BAD＝∠CAD，則所對的弧相等，由垂徑定理得：OD⊥BC，從而得結論；

（2）先得∠BOD＝∠BAC，根據tan∠BOD＝，設ON＝x，BN＝，利用勾股定理解決問題．

（1）證明：連接OD，

∵DF是⊙O的切線，

∴OD⊥DF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴OD⊥BC，

∴DF∥BC；

（2）解：連接OB，

∵，

∴∠BOD＝∠BAC，

由（1）知OD⊥BC，

∴tan∠BOD＝，

∵tan∠BAC＝2，

∴，

設ON＝x，BN＝2x，

由勾股定理得：OB＝3x，

∴OD＝3x，

∴DN＝3x﹣x＝2x，

Rt△BDN中，BN2+DN2＝BD2，

∴，

解得x＝2或﹣2（舍），

∴OB＝OD＝3x＝6，

Rt△OFD中，由勾股定理得：OF＝＝＝10．