Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作x軸，y軸的垂線，如果由這點、原點及兩個垂足為頂點的矩形的周長與面積相等，那么稱這個點是平面直角坐標系中的“巧點”．例如，圖1中過點P（4，4）分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A，B，矩形OAPB的周長為16，面積也為16，周長與面積相等，所以點P是巧點．請根據以上材料回答下列問題：

（1）已知點C（1，3），D（-4，-4），E（5，-），其中是平面直角坐標系中的巧點的是______；

（2）已知巧點M（m，10）（m＞0）在雙曲線y=（k為常數）上，求m，k的值；

（3）已知點N為巧點，且在直線y=x+3上，求所有滿足條件的N點坐標．

Answer 1

【答案】（1）D和E；（2）m=，k=25；（3）N的坐標為(-6，-3)或(3，6)．

【解析】

（1）利用矩形的周長公式、面積公式結合巧點的定義，即可找出點D，E是巧點；

（2）利用巧點的定義可得出關于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征，可求出k值；

（3）設N(x，x+3)，根據巧點的定義得到2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，分三種情況討論即可求解．

（1）∵（4+4）×2=4×4，（5+）×2=5×，（1+3）×2≠1×3，

∴點D和點E是巧點，

故答案為：D和E；

（2）∵點M(m，10)（m＞0），

∴矩形的周長=2（m+10），面積=10m．

∵點M是巧點，

∴2（m+10）=10m，解得：m=，

∴點M(，10)．

∵點M在雙曲線y=上，

∴k=×10=25；

（3）設N(x，x+3)，則2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，

當x≤-3時，化簡得：x2+7x+6=0，解得：x=-6或x=-1（舍去）；

當-3＜x＜0時，化簡得：x2+3x+6=0，無實根；

當x≥0時，化簡得：x2-x-6=0，解得：x=3或x=-2（舍去），

綜上，點N的坐標為(-6，-3)或(3，6)．