Question

（2011•常德）已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O₁，O₂，P是AB的中點，
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分別取點E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，則有結論①△PO₁E≌△FO₂P，②四邊形PO₁CO₂是菱形，請給出結論②的證明；
（2）如圖2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；
（3）如圖3，若PC是⊙O₁的切線，求證：AB²=BC²+3AC²．

Answer 1

解：（1））∵P、O₁、O₂分別為AB、AC、BC的中點，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
∴四邊形PO₁CO₂是平行四邊形，
∵AC=BC，∴PO₁=PO₂，
∴四邊形PO₁CO₂是菱形；
（2）∵P、O₁、O₂分別為AB、AC、BC的中點，∴AP=BP，AO₁=BO₂，PO₁BC，PO₂AC，
即PO₁=BO₂，AO₁=PO₂，
∴△APO₁≌△BPO₂；
（3）直角三角形APC中，設AP=c，AC=a，PC=b，
∴c²=a²+b²；AB²=4c²=4（a²+b²），
過點B作AC的垂線，交AC的延長線于D點．

∴CD=a，BD=2b，BC²=a²+4b²，
∴BC²+3AC²=a²+4b²+3a²=4（a²+b²），
∴AB²=BC²+3AC²．

略