Question

如圖，BC是⊙O的直徑，點A在圓上，且AB=AC=4．P為AB上一點，過P作PE⊥AB分別交BC、OA于E、F．
（1）設AP=1，求△OEF的面積；
（2）設AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面積分別記為S₁、S₂．
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一個實數a，使S＜

15

3

？若存在，求出一個a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°，OA⊥BC，
∴∠1=∠B=45°，
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°，
則△APF、△OEF與△OAB均為等腰直角三角形．
∵AP=l，AB=4，
∴AF=

2

，OA=2

2

，
∴OE=OF=

2

，
∴△OEF的面積為

1

2

•OE•OF=1．

（2）①∵FP=AP=a，
∴S₁=

1

2

a²
且AF=

2

a，
∴OE=OF=2

2

-

2

a=

2

（2-a），
∴S2=

1

2

•OE•OF=（2-a）²
∵S₁=S₂
∴

1

2

a2=（2-a）²
∴a=4±2

2

∵0＜a＜2
∴a=4-2

2

．
②S=S₁+S₂=

1

2

a²+（2-a）²=

3

2

a²-4a+4=

3

2

（a-

4

3

）²+

4

3

，
∴當a=

4

3

時，S取得最小值為

4

3

，
∵

15

3

＜

4

3

，
∴不存在這樣實數a，使S＜

15

3

．