Question

【題目】二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①abc＞0；②2a+b＝0；③m為任意實數，則a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（　　）

A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

由拋物線的開口方向、拋物線的對稱軸及拋物線與軸的交點判斷①②，由頂點坐標確定函數最大值是a+b+c判斷③，然后根據拋物線與軸交點的個數及對稱軸判斷④，由ax12+bx1＝ax22+bx2恒等變形得x1+x2＝，根據對稱軸直線x＝＝1，可以判斷⑤．

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線對稱軸為直線x＝＝1，

∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正確；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①錯誤；

∵拋物線對稱軸為直線x＝1，

∴函數的最大值為a+b+c，

∴當m≠1時，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③錯誤；

∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側，而對稱軸為直線x＝1，

∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側

∴當x＝﹣1時，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以④錯誤；

∵ax12+bx1＝ax22+bx2，

∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，

∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，

∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，

而x1≠x2，

∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，

∵b＝﹣2a，

∴x1+x2＝2，所以⑤正確．

綜上所述，正確的有②⑤．

故選：C．