Question

【題目】在數學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，如圖．大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出如下結論：（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．其中正確的結論是_____．（將你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）（5）．

【解析】

可以通過作輔助線來得解，取AD的中點F，連接EF．根據平行線的性質可證得（1）（4）（5），根據梯形中位線定理可證得（3）正確．根據全等三角形全等的判定可證得（2）的正誤，即可得解．

如圖：取AD的中點F，連接EF．

∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[結論（5）正確]，
∵E是BC的中點，F是AD的中點，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位線定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（兩直線平等，內錯角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中點，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[結論（3）正確]，
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[結論（1）正確]，
由結論（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，則∠DEA=90°，即AE⊥DE；[結論（4）正確]．
由以上結論及三角形全等的判定方法，無法證明△EBA≌△DCE，結論（2）錯誤．
正確的結論有（1）（3）（4）（5），
故答案為：（1）（3）（4）（5）．