Question

【題目】如圖，A是∠MON邊OM上一點，AE∥ON．
（1）在圖中作∠MON的角平分線OB，交AE于點B；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）在（1）中，過點A畫OB的垂線，垂足為點D，交ON于點C，連接CB，將圖形補充完整，并證明四邊形OABC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，射線OB為所求作的圖形．

（2）解：證明：∵OB平分∠MON，

∴∠AOB=∠BOC．

∵AE∥ON，

∴∠ABO=∠BOC．

∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．

∵AD⊥OB，

∴BD=OD．

在△ADB和△CDO中

∵

∴△ADB≌△CDO，AB=OC．

∵AB∥OC，

∴四邊形OABC是平行四邊形．

∵AO=AB，

∴四邊形OABC是菱形．

【解析】（1）角平分線的作法：用圓規以頂點為圓心，任意長為半徑畫一個弧（要保證有兩個交點，不要太小），再以剛才畫出的交點為頂點，以大于第一次的半徑為半徑畫弧（左右各畫一個弧），再取兩道弧的交點，并連接這個交點的一開始最上面的頂點，這就是角平分線．（2）本題可根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，先證明OABC是個平行四邊形，然后證明OA=AB即可．
【考點精析】利用菱形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．