Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求△GEC的面積；
（2）求證：AE=EF

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=

∴S△GEC=ECCG=×1×=；

（2）

證明：取AB的中點H，連接EH；∵ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，

∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF

【解析】首先根據△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC；取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．