Question

17．閱讀下列材料，解決后面兩個問題：
我們可以將任意三位數$\overline{abc}$（其中a、b、c分別表示百位上的數字，十位上的數字和個位上的數字，且a≠0），顯然$\overline{abc}$=100a+10b+c；我們形如$\overline{xyz}$和$\overline{zyx}$的兩個三位數稱為一對“姊妹數”（其中x、y、z是三個連續的自然數）如：123和321是一對姊妹數，678和876是一對“姊妹數”．
（1）寫出任意兩對“姊妹數”，并判斷2331是否是一對“姊妹數”的和；
（2）如果用x表示百位數字，求證：任意一對“姊妹數”的和能被37整除．

Answer 1

分析 （1）根據“姊妹數”的意義直接寫出兩對“姊妹數”，根據“姊妹數”的意義設出一個三位數，表示出它的“姊妹數”，求和，用2331建立方程求解，最后判斷即可；
（2）表示出這對“姊妹數”，并且求和，寫成37×6（x-1），判斷6（x-1）是整數即可．

解答 解：（1）根據“姊妹數”滿足的條件得，$\overline{234}$和$\overline{432}$是一對姊妹數，$\overline{345}$和$\overline{543}$是一對姊妹數；
假設是一對“姊妹數”的和，
設這對“姊妹數”中的一個三位數的十位數字為x，個位數字為（x-1），百位數字為（x+1），（x為大于1小于9的整數），
∴這個三位數為100（x+1）+10x+x-1=111x+99，
∴另一個三位數的十位數字為x，個位數字為（x+1），百位數字為（x-1），則這個三位數為100（x-1）+10x+x+1=111x-99，
∴這對“姊妹數”的和為（111x+99）+（111x-99）=222x=2331，
∴x=10$\frac{1}{2}$，不符合題意，
∴2331不是一對“姊妹數”的和；
（2）∵x表示一個三位數的百位數字，（x為大于2小于9的整數），
根據“姊妹數”的意義得，這個三位數的十位數字為（x-1），個位數字為（x-2），
∴這個三位數為：100x+10（x-1）+（x-2）=111x-12，
∴它的“姊妹數”為：100（x-2）+10（x-1）+x=111x-210，
∴這對“姊妹數”的和為：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222（x-1）=37×6（x-1），
∵x為大于2小于9的整數，
∴（x-1）是整數，
∴6（x-1）是整數，
∴37×6（x-1）能被37整除，
即：任意一對“姊妹數”的和能被37整除．

點評 此題是因式分解的應用，主要考查了新定義，解一元一次方程，這出問題，解本題的關鍵是理解“姊妹數”的意義，并且會用它解決問題．