Question

【題目】如圖1，四邊形中，，，，是邊上的中線，過點作垂足為，交線段于點，交于點，連接．

（1）求證：；

（2）探索線段和之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）當等于多少度時，點恰好為中點？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）105°

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠DCB=∠DBC=∠CDM=∠BDM=45°，DM⊥BC，利用ASA定理證明△ABD≌△NCD；

（2）根據全等三角形的性質得到AD=ND，AB=NC，證明△FDA≌△FDN，得到AF=FN，結合圖形證明即可；

（3）連接AN，BN，根據線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定定理得到△ABN是等邊三角形，得到∠BAN=60°，證明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DAN=45°，計算即可．

(1) 證明:

(2)

(3)解:如圖2，連接AN, BN,

∵CE⊥AB，E為AB中點,

∴直線CE為AB的垂直平分線,

∴AN=BN,

∵AF=FN，AD=DN,

∴直線BD為AN的垂直平分線，

∴AB=NB,

∴AB=AN= BN,

∴△ABN是等邊三角形，

∴∠BAN=60°,

∵AD//BC, DM⊥BC,

∴AD⊥DN,

∵AD=DN,

∴△ADN是等腰直角三角形 ,

∴∠DAN=45°,

∴∠BAD=60°+45°=105°．