Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右作正方形CDEF，連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，設OD＝t．

（1）求的值；

（2）用含t的代數式表示△OAB的面積S；

（3）是否存在點B，使以B，E，F為頂點的三角形與△OEF相似？若存在，請求出所有滿足要求的B點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△OAB＝（0＜t＜2）；（3）B點坐標為(1,0)(3,0)(6,0)時，以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似．

【解析】

（1）根據點A的坐標求出∠AOD=45°，然后判斷出△OCD是等腰直角三角形，然后得到正方形的邊長等于t，即可得出結論；
（2）先利用△ACF和△AOB相似，根據相似三角形對應邊成比例用t表示出OB，
（3）根據相似三角形對應邊成比例分情況求出BE，然后根據OB的長度列出方程求解即可．

解：（1）∵點A（2，2），

∴∠AOD＝45°，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∵OD＝t，

∴正方形CDEF的邊長為t，

∴OE＝OD+DE＝t+t＝2t，

∴

（2）∵OD＝t，

∴

∴

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CF∥OB，

∴△ACF∽△AOB，

∴

∴

∴

∴

（3）由（1）知，

由（2）知，EF=t，

要使△BEF與△OFE相似，

∵∠FEO＝∠FEB＝90°，

∴只要或

即：BE=2t或，

①當BE=2t時，BO=4t，

∴

∴t1=0(舍去)或，

∴B(6,0).

②當時，

(ⅰ)當B在E的左側時，

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(1,0).

(ⅱ)當B在E的右側時,

∴

∴t1=0(舍去)或

∴B(3,0).

綜上,B(1,0)(3,0)(6,0).

綜上所述，B點坐標為(1,0)(3,0)(6,0)時，以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似．