Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點D為OC中點，點P在拋物線上．

（1）直接寫出A、B、C、D坐標；

（2）點P在第四象限，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PE交BC、BD于G、H，是否存在這樣的點P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣)；（2）存在，(，﹣)；（3）﹣＜t＜﹣1

【解析】

（1）可通過二次函數的解析式列出方程，即可求出相關點的坐標；

（2）存在，先求出直線BC和直線BD的解析式，設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出點P坐標；

（3）求出直線y＝x+t經過點B時t的值，再列出當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個交點時的方程，使根的判別式為0，求出t的值，即可寫出t的取值范圍．

解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，

當x＝0時，y＝﹣3；當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵D為OC的中點，

∴D（0，﹣）；

（2）存在，理由如下：

設直線BC的解析式為y＝kx﹣3，

將點B（3，0）代入y＝kx﹣3，

解得k＝1，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

設直線BD的解析式為y＝mx﹣，

將點B（3，0）代入y＝mx﹣，

解得m＝，

∴直線BD的解析式為y＝x﹣，

設點P的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），

∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

當EH＝HG＝GP時，﹣x+＝﹣x2+3x，

解得x1＝，x2＝3（舍去），

∴點P的坐標為（，﹣）；

（3）當直線y＝x+t經過點B時，

將點B（3，0）代入y＝x+t，

得，t＝﹣1，

當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個交點時，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一個解，

即x2﹣x﹣3﹣t＝0，

△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，

解得t＝﹣，

∴由圖2可以看出，當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個交點時，t的取值范圍為：﹣＜t＜﹣1時．