Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來(lái)的速度沿AB返回．點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t >0）秒．

（1）求線段AC的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)（未到達(dá)A點(diǎn)），求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線為l：
①當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，射線QP交AD于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng)；
②當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求t的值．

Answer 1

（1）5 （2），    （3）3、t＝2.5，

試題分析：（1）在矩形ABCD中，         

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，
，  
. 
(3) ①如圖②，線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
延長(zhǎng)QP交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O，
則，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得． 
②（ⅰ）如圖③，當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t       
∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．    
（ⅱ）如圖④，當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G由△PGC∽△ABC，
得
,BG＝4－=
由勾股定理得，即，解得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定方法，會(huì)判定兩個(gè)三角形相似